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<!DOCTYPE html>

<title>Potentialtheorie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Potentialtheorie</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Potentialtheorie</b> oder die Theorie der <a href="Wirbelfreies_Vektorfeld" class="mw-redirect" title="Wirbelfreies Vektorfeld">wirbelfreien Vektorfelder</a> behandelt die mathematisch-physikalischen Grundlagen <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativer</a> (wirbelfreier) <a href="Kraftfeld_(Physik)" class="mw-redirect" title="Kraftfeld (Physik)">Kraftfelder</a>.

</p><p>Wichtige Anwendungen sind einige in der Natur wirksame <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalarfelder</a>, insbesondere das <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitations</a>- bzw. <a href="Schwerefeld" title="Schwerefeld">Schwerefeld</a> sowie <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrische</a> und <a href="Magnetfeld" class="mw-redirect" title="Magnetfeld">magnetische Felder</a>. In der <a href="Fluiddynamik" title="Fluiddynamik">Fluiddynamik</a> (<a href="Aerodynamik" title="Aerodynamik">Aerodynamik</a> und <a href="Hydrodynamik" class="mw-redirect" title="Hydrodynamik">Hydrodynamik</a>) lassen sich <a href="Potentialstr%C3%B6mung" title="Potentialströmung">Strömungsfelder</a> als <a href="Potentialfeld" class="mw-redirect" title="Potentialfeld">Potentialfeld</a> beschreiben, ebenso viele Vorgänge in der <a href="Atomphysik" title="Atomphysik">Atomphysik</a> und die Modellierung der genauen <a href="Erdfigur" title="Erdfigur">Erdfigur</a>.

</p><p>Die Anfänge der Theorie gehen auf den italienischen Mathematiker und Astronomen <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>, den Engländer <a href="George_Green" title="George Green">George Green</a> und schließlich <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> zurück, der dabei bereits Anwendungen für die <a href="Geoidbestimmung" title="Geoidbestimmung">Geoidbestimmung</a> im Sinn hatte.

</p><p>Zentrale Elemente des Theoriegebäudes sind das <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> und seine örtlichen Ableitungen, bei denen zwischen dem Innenraum eines Körpers (mit seiner <a href="Ladung_(Physik)" title="Ladung (Physik)">Ladungs</a>- bzw. <a href="Massenverteilung" title="Massenverteilung">Massenverteilung</a>) und dem <a href="Quellfrei" class="mw-redirect" title="Quellfrei">quellfreien</a> Außenraum zu unterscheiden ist (siehe <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektor-_und_skalares_Feld">Vektor- und skalares Feld</h2></div>

<p>Die Potentialtheorie beruht darauf, dass zu jedem konservativen Vektorfeld ein <a href="Skalar_(Physik)" class="mw-redirect" title="Skalar (Physik)">skalares</a> Potentialfeld existiert, dass also in jedem Punkt das Vektorfeld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75334cd799d7704979e995d45fc86109e8058de5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.262ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})}" loading="lazy"></span> durch den <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradienten</a> des Potentialfeldes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span> gemäß

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\,\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f195538c0d88077eea62cecaaa347d351bbb9002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\,\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit dem <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla }" loading="lazy"></span> gegeben ist (man spricht daher auch vom <a href="Gradientenfeld" title="Gradientenfeld">Gradientenfeld</a>). Gleichzeitig lassen sich durch Bildung der <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"></span> die <a href="Quelle_und_Senke" title="Quelle und Senke">Quellen und Senken</a> des Feldes bestimmen (zum Beispiel die elektrischen <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">Ladungen</a> beim elektrischen Feld):

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})=\operatorname {div} \,{\vec {a}}({\vec {r}})=\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))={\vec {\nabla }}\cdot \,({\vec {\nabla }}\,\Phi ({\vec {r}}))=\Delta \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa2240a12aaddb3607c658b16bd180e4047d399d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.699ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})=\operatorname {div} \,{\vec {a}}({\vec {r}})=\operatorname {div} \,(\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}}))={\vec {\nabla }}\cdot \,({\vec {\nabla }}\,\Phi ({\vec {r}}))=\Delta \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit dem <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy"></span>.

Die Potentialtheorie beschäftigt sich nun damit, wie sich bei einer gegebenen Größe, z. B. dem Quellenfeld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c80c262b5476b043478d88adb73498aac8b80de9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span>, die korrespondierenden anderen Größen berechnen lassen. Entsprechend der jeweiligen Fragestellung spricht man dabei von verschiedenen „Problemen“.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Poisson-Problem">Poisson-Problem</h2></div>

<p>Für das Potential gilt die <a href="Poisson-Gleichung" title="Poisson-Gleichung">Poisson-Gleichung</a>

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348422d2bb88f5cf9501e36aed572dbb30744636.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.626ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \Phi ({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Wenn das Quellenfeld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c80c262b5476b043478d88adb73498aac8b80de9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span> gegeben ist, lässt sich das Potential durch Integration bestimmen: Da eine einzelne punktförmige Quelle der Stärke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> am Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}'}">

<msup>

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</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a9e3a3ef3129c0385fd606669b72084f0340b2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.908ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}'}" loading="lazy"></span> das Potential

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\quad {\text{bzw.}}\quad \mathrm {d} \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\rho ({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\ \mathrm {d} V'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7439cbbfae2de1039102655f811737419cc9e300.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:68.074ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\quad {\text{bzw.}}\quad \mathrm {d} \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} q}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\rho ({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\ \mathrm {d} V'}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erzeugt, ergibt sich durch Aufsummieren bzw. Integration insgesamt

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\ \mathrm {d} V'.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6c0df4c27206e6a89724155de7431737454e437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.33ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\ \mathrm {d} V'.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dirichlet-Problem">Dirichlet-Problem</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Peter Gustav Lejeune Dirichlet</a></i></div>

<p>Häufig lassen sich in der Physik die Quellenfelder nicht direkt messen, wohl hingegen ihr Potentialfeld auf einem bestimmten räumlichen Gebiet. Ein solcher Fall ist die Erforschung des <a href="Erdinneres" class="mw-redirect" title="Erdinneres">Erdinneren</a> durch geodätische oder <a href="Geophysik" title="Geophysik">geophysikalische</a> Methoden:

</p><p>Man kann nicht ins tiefe Erdinnere bohren, um dort die <a href="Dichte_(Physik)" class="mw-redirect" title="Dichte (Physik)">Dichte</a> zu bestimmen – man kann jedoch auf der <a href="Erdoberfl%C3%A4che" title="Erdoberfläche">Erdoberfläche</a> ihre Wirkung in Form der <a href="Fallbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Fallbeschleunigung">Fallbeschleunigung</a> und der <a href="Lotabweichung" title="Lotabweichung">Lotabweichung</a> messen.

</p><p>In einem solchen Fall ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cfea3f7427562ff5dc633ca253c311a395c34b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.71ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span> auf einem Teil des Raumes bestimmt, das Quellenfeld selbst jedoch unbekannt. Es ist nur unter gewissen <a href="Nebenbedingung" title="Nebenbedingung">Nebenbedingungen</a> eindeutig und lässt i.a. mehrere Lösungen zu (siehe auch <a href="Umkehrproblem_der_Potentialtheorie" title="Umkehrproblem der Potentialtheorie">Umkehrproblem der Potentialtheorie</a>). <br>

Eine elegante mathematische Lösung des Dirichlet-Problems ist mit Hilfe der <a href="Greensche_Funktion" title="Greensche Funktion">Greenschen Funktionen</a> möglich.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potential_der_einfachen_Schicht">Potential der einfachen Schicht</h2></div>

<p>Eine Schwierigkeit bei praktischen Berechnungen in der Potentialtheorie ist oft die große zu verarbeitende <a href="Datenmenge" title="Datenmenge">Datenmenge</a>, beispielsweise für harmonische Kugelfunktions-Entwicklungen zur Bestimmung von Schwerefeld und <a href="Geoid" title="Geoid">Geoid</a>. Um beispielsweise aus <a href="Bahnst%C3%B6rung" title="Bahnstörung">Bahnstörungen</a> von Satelliten 50.000 <a href="Massefunktion" title="Massefunktion">Massefunktionen</a> des Erdkörpers zu berechnen, benötigt die Neumannsche Methode ca. 100.000 Datensätze und die Inversion von riesigen Matrizen (<a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">Gleichungssystemen</a>).

</p><p>Für dieses Problem der <a href="Satellitengeod%C3%A4sie" title="Satellitengeodäsie">Satellitengeodäsie</a> hat der Bonner Geodät <a href="Karl_Rudolf_Koch" class="mw-redirect" title="Karl Rudolf Koch">Karl Rudolf Koch</a> in den 1970er Jahren unter der Bezeichnung „<a href="Potential_der_einfachen_Schicht" title="Potential der einfachen Schicht">Potential der einfachen Schicht</a>“ eine sog. <a href="Robust" class="mw-redirect" title="Robust">robuste</a>, sehr effektive Rechenmethode erarbeitet, bei der das <a href="St%C3%B6rpotential" title="Störpotential">Störpotential</a> nicht durch <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Funktionen</a>, sondern als <a href="Fl%C3%A4chenbelegung" title="Flächenbelegung">Flächenbelegung</a> auf der Erdoberfläche dargestellt wird. Diese fiktiven dünnen Schichten ersetzen die im Detail unbekannte Quellen- bzw. Massenverteilung im tieferen Erdinnern und in der <a href="Erdkruste" title="Erdkruste">Erdkruste</a>. Die im Prinzip an den Modellrändern unstetige Rechenmethode bewährte sich in der Praxis ungemein und konnte die <a href="Rechenzeit" class="mw-redirect" title="Rechenzeit">Rechenzeiten</a> der Großcomputer auf einen Bruchteil reduzieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>R. J. E. Clausius: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=h00DAAAAQAAJ&redir_esc=y&hl=de">Die Potentialfunction und das Potential</a></i>. Leipzig: Barth, 1859.</li>

<li>T. Wand: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996130">Die principien der mathematischen Physik und die Potentialtheorie nebst ihren vorzüglichsten Anwendungen im Grundriss dargestellt</a></i>. Leipzig: B. G. Teubner, 1871.</li>

<li>C. Neumann: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996161">Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential</a></i>. Leipzig : B. G. Teubner, 1877.</li>

<li>Max Doehler: <i>Beitrag zur Potentialtheorie : die Green'sche Funktion für das Rotationsellipsoid, den unendlichen Kreiscylinder und Schalen, die von zwei konfokalen Rotationsellipsoiden resp. zwei koaxialen unendlichen Kreiscylindern begrenzt werden</i>. Matthes, Brandenburg 1889 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:061:1-99196">Digitalisat</a>).</li>

<li>A. Wangerin: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath&idno=ABR4703">Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen (2 band)</a></i>. Leipzig: G. J. Göschen, 1909–1921.</li>

<li>R. Courant, D. Hilbert: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN380673029">Methoden der mathematischen Physik Zweiter Band</a></i>. Berlin: Springer, 1924.</li>

<li>S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey: <i>Harmonic Function Theory</i>. 2. Auflage, Springer-Verlag, 2001, ISBN 0-387-95218-7.</li>

<li><a href="Oliver_Dimon_Kellogg" class="mw-redirect" title="Oliver Dimon Kellogg">O.D. Kellogg</a>: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN379055058">Foundations of Potential Theory</a></i>. Dover Publications, 1967, ISBN 0-486-60144-7.</li>

<li><a href="Karl_Ledersteger" title="Karl Ledersteger">Karl Ledersteger</a>: <i><a href="Handbuch_der_Vermessungskunde" title="Handbuch der Vermessungskunde">Handbuch der Vermessungskunde</a> Band V Astronomische und Physikalische Geodäsie</i>. J. B. Metzler, Stuttgart 1969 (<a href="Theorem" title="Theorem">Theoreme</a> und Schwerefeld, <a href="Gleichgewichtsfigur" title="Gleichgewichtsfigur">Gleichgewichtsfiguren</a> und <a href="Prinzip_der_Entbl%C3%A4tterung" title="Prinzip der Entblätterung">Prinzip der Entblätterung</a>, Isostasie usw.).</li>

<li><a href="Rudolf_Sigl" title="Rudolf Sigl">Rudolf Sigl</a>: <i>Einführung in die Potentialtheorie</i>. Wichmann-Verlag, 1973, ISBN 3-87907-031-8.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, <a href="Herbert_K%C3%A4stner" title="Herbert Kästner">Herbert Kästner</a> (Hrsg.): <i>Kleine Enzyklopädie Mathematik.</i> Leipzig 1970, S. 741.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Grimsehl: <i>Lehrbuch der Physik, Bd. I</i>; Leipzig 1954, S. 160.</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4046939-6">4046939-6</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85105671">sh85105671</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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